Notatitieconventies ------------------- Algemeen: 1. Omsluit een operator door spaties, uitzonderingen: a. Het is meestal leesbaarder om de * en / operator niet door spaties omsluiten. b. ! is de unaire not operator. Hij kan werken op variabelen (bijv. !A) en andere operators (bijv. !=, !elem, !&). c. De ? operator kan achter een ander vergelijkings- of beweringsoperator gzet worden en maakt hem vragend (bijv. a def B subset A 8. a elem A =def a element A =def 9. A mele a <==>def a elem A Andere veel voorkomende operatoren: 1. exists 2. forall Afhankelijke kansrekening ------------------------- Stel je hebt een symmetrische kansruimte U met A subset U en B subset U. Dan P(A) = n(A)/n(U) en P(B) = n(B)/n(U) ...(1) Stelling: P(A|B) = P(A & B)/P(B) ...(2) Bewijs: P(A|B) = n(A & B)/n(B) = (n(A & B)/n(U))*(n(U)/n(B)) = P(A & B)/P(B) ...(3) Wat nu als U asymmetrisch is? + (3) blijft geldig als A & B = {}, want dan P(A|B) = 0 en P(A & B) = 0. + (3) blijft geldig als B subset A, want dan P(A|B) = 1 en P(A & B) = P(B). + In feite is (2) een hernormering: Bij het 2e experiment A neem je B in plaats van U als uitkomstenruimte. Zo beschouwd is (2) eigenlijk intuitief meteen duidelijk. Daarom wordt (2) verheven tot definitie: P(A|B) =def P(A & B)/P(B) ...(4) Als A onafhankelijk is van B geldt P(A|B) = P(A) ==> P(A)*P(B) = P(A & B) ...(5) Als A afhankelijk is van B geldt meestal P(A|B) != P(A), of beter geformuleerd: P(A|B) != P(A) ==> A afhankelijk B ...(6) Voorbeeld 1. A = alle honden die meer dan 30kg wegen. B = alle honden van ras X U = alle honden op Aarde. Het is duidelijk dat A afhankelijk is van B, want sommige rassen zijn groter dan andere. Dus: P(A|herder) > P(A), P(A|chihuahua) = 0 < P(A), etc. Meer verduidelijkt: Stel je weet alleen dat Piet een hond heeft. Dan weet je alleen P(A). Als je ook weet van welk ras de hond is weet je P(A|B). Voorbeeld2 A = alle dagen waarop het minstens 1x regent. B = alle dagen waarvoor minsten 1x regen is voorspeld. U = alle dagen. De vraag is natuurlijk: P(A|B) >? P(A). Met behulp van een steekproef (bijvoorbeeld turf van 1000 dagen de voorspelling en of het daadwerkelijk regent) kun je P(A) (= n(A)/1000), P(B), P(A|B) en P(A & B) direct meten. Je kan ook meten: C = alle dagen met regen en idem voor de dag ervoor. Interessante vragen zijn nu: P(C) ? P(A). Voorbeeld 3 A = 1e dobbelsteenworp geeft 1. B = 2e dobbelsteenworp geeft 1. U is nu wat moeilijker te bepalen, want A en B moeten daarvan een subset zijn, maar A en B zijn ogenschijnlijk heel verschillende experimenten. Dat is, zijn deelverzamelingen van 2 verschillende uitkomstenruimtes U1 en U2, met: U1 = alle mogelijke uitkomsten worp 1. U2 = alle mogelijke uitkomsten worp 2. Oplossing: neem het Cartesisch product van beide deelverzamelingen: U = U1*U2 = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)} Neem vervolgens: A = {(1,1), ..., (1,6)} = {(1, x) | 1 <= x <= 6}. B = {(1,1), ..., (6,1)}. De rest is triviaal. NB. Als het een eerlijke dobelsteen betreft is U symmetrisch. Als het valse dobbelsteen is dan is U asymmetrisch.